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小學奧數知識點講解例題:行程問題

2019-8-5 18:03

來源:aoshu_2003


行程問題及公式


公式:

1、 行程問題:行程問題可以大概分為簡單問題、相遇問題、時鐘問題等。


2、常用公式

1)速度×時間=路程;      

路程÷速度=時間;      

路程÷時間=速度;


2)速度和×時間=路程和;


3)速度差×時間=路程差。


3、常用比例關系:

1)速度相同,時間比等于路程比;

2)時間相同,速度比等于路程比;

3)路程相同,速度比等于時間的反比。


4、行程問題中的公式:

1)順水速度=靜水速度+水流速度;

2)逆水速度=靜水速度-水流速度。

3)靜水速度=(順水速度+逆水速度)/2

4)水流速度=(順水速度–逆水速度)/2


5、基本數量關系是火車速度×時間=車長+橋長

      1)超車問題 (同向運動,追及問題) 路程差=車身長的和 超車時間=車身長的和÷速度差  

      2)錯車問題 (反向運動,相遇問題)路程和=車身長的和 錯車時間=車身長的和÷速度和
      3)過人(人看作是車身長度是0的火車)

      4)過橋、隧道(橋、隧道看作是有車身長度,速度是0的火車)


例題:

例1:已知某鐵路橋長1000米,一列火車從橋上通過,測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒,整列火車完全在橋上的時間為80秒,求火車的速度和長度。


分析:本題關鍵在求得火車行駛120秒和80秒所對應的距離。
解答:設火車長為L米,則火車從開始上橋到完全下橋行駛的距離為(1000+L)米,火車完全在橋上的行駛距離為(1000-L)米,設火車行進速度為u米/秒,則:

由此知200×u=2000,從而u=10,L=200,即火車長為200米,速度為10米/秒。


評注:行程問題中的路程、速度、時間一定要對應才能計算,另外,注意速度、時間、路程的單位也要對應。


例2:甲、乙各走了一段路,甲走的路程比乙少1/5,乙用的時間比甲多了1/8,問甲、乙兩人的速度之比是多少?
分析:速度比可以通過路程比和時間比直接求得。


解答:設甲走了S米,用時T秒,則乙走了S÷(1-1/5)=5/4 S(米),用時為:T×(1+1/8)=9/8 T(秒),甲的速度為:S/T,乙速度為:5/4 S÷ 9/8 T=10S/9T,甲乙速度比為S/T :10S/9T=9:10


評注:甲、乙路程比4/5,時間比8/9,速度比可直接用:4/5 ÷ 8/9=9/10,即9:10。


例3:一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行,順流需要6小時,逆流要8小時,水流速度為每小時2.5千米,求船在靜水中的速度。


分析:順流船速是靜水船速與水流速度之和,而逆流船速是兩者之差,由此可見,順流與逆流船速之差是水流速的2倍,這就是關鍵。
解答:設船在靜水中速度為U千米/時,則:(U+2.5)×6=(U-2.5)×8,解得U=17.5,即船在靜水中速度為17.5千米/時。


例4:甲、乙兩人在400米環形跑道上跑步,兩人朝相反的方向跑,兩個第一次相遇與第二次相遇間隔40秒,已知甲每秒跑6米,問乙每秒跑多少米?


分析:環形跑道上相反而行,形成了相遇問題,也就是路程、時間及速度和關系的問題。


解答:第一次相遇到第二次相遇,兩個人一共跑400米,因此速度和為400÷40=10(米/秒),乙速度為10-6=4(米/秒),即乙每秒跑4米。


評注:環形跑道上的相遇問題要注意一定時間內兩人行進路程的總和是多少。


例5:一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距299千米的兩地相向而行,公共汽車每小時行40千米,小轎車每小時行52千米,問:幾小時后兩車第一次相距69千米?再過多少時間兩車再次相距69千米?


分析:相遇問題中求時間,就需要速度和及總路程,確定相應總路程是本題重點。


解答:第一次相距69千米時,兩車共行駛了:299-69=230(千米),所用時間為230÷(40+52)
=2.5(小時),再次相距69千米時,兩車從第一次相距69千米起又行駛了:69×2=138(千米),所  用時間為:138÷(40+52)=1.5(小時),即2.5小時后兩車第一次相距69千米,1.5小時后兩車再次相距69千米。


評注:相遇問題與簡單行程問題一樣也要注意距離、速度和及時間的對應關系。


例6:一列客車與一列貨車同時同地反向而行,貨車比客車每小時快6千米,3小時后,兩車相距342千米,求兩車速度。


分析:已知兩車行進總路程及時間,這是典型的相遇問題。


 解答:兩車速度和為:342÷3=114(千米/小時),貨車速度為(114+6)÷2=60(千米/時),客車速度為114-60=54(千米/時),即客車速度54千米/時,貨車速度為60千米/時


評注:所謂“相遇問題”并不一定是兩人相向而行并相遇的問題,一般地,利用距離和及速度和解題的一類題目也可以稱為一類特殊的相遇問題。


例7:甲、乙兩輛車的速度分別為每小時52千米和40千米,它們同時從甲地出發開到乙地去,出發6小時,甲車遇到一輛迎面開來的卡車,1小時后,乙車也遇到了這輛卡車,求這輛卡車速度。


分析:題目中沒有給任何卡車與甲車相遇前或與乙車相遇后的情況,因此只能分析卡車從與甲車相遇到乙車相遇這段時間的問題。


解答:卡車從甲車相遇到與乙車相遇這段時間與乙車在做一個相遇運動,距離為出發6小時時,甲、乙兩車的距離差:(52-40)×6=72(千米),因此卡車與乙車速度和為:72÷1=72(千米/時),卡車速度為72-40=32(千米/時)


評注:在比較復雜的運動中,選取適當時間段和對象求解是非常重要的。


例8:甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行,它們相遇時距A、B兩地中心處8千米,已知甲車速度是乙車的1.2倍,求A、B兩地距離。


分析:已知與中心處的距離,即是知道兩車行程之差,這是本題關鍵。


解答:甲車在相遇時比乙車多走了:8×2=16(千米),由甲車速度是乙的1.2倍,相遇時所走路程甲也是乙的1.2倍,由此可知乙所走路程為16÷(1.2-1)=80(千米),兩地距離為(80+8)×2=176(千米),即兩地相距176千米。


評注:
有效利用各種形式的條件也是重要的技巧。


例9:兄妹二人在周長30米的圓形水池邊玩,他們從同一地點同時出發,背向繞水池而行,兄每秒走1.3米,妹每秒走1.2米,照這樣計算,當他們第十次相遇時,妹妹還需走多少米才能回到出發點?


分析:本題重點在于計算第十次相遇時他們所走過的路程。


解答:每兩次相遇之間,兄妹兩人一共走了一圈30米,因此第十次相遇時二人共走了:30×10=300(米),兩人所用時間為:300÷(1.3+1.2)=120(秒),妹妹走了:1.2×120=144(米),由于30米一圈,因此妹妹再走6米才能回到出發點。


例10:兩列火車相向而行,甲車每小時行48千米,乙車每小時行60千米,兩車錯車時,甲車上一乘客從乙車車頭經過他的車窗時開始計時,到車尾經過他的車窗共用13秒鐘,求乙車全長多少米?


分析:甲車乘客看到乙車經過用了13秒而他看到的乙車速度則是甲、乙兩車實際速度之和。


解答:乘客看到乙車的相對速度即甲、乙車實際速度之和為:48+60=108(千米/時)合30米/秒,乙車長為:30×13=390(米),即乙車全長為390米


評注:錯車也是一類常見問題,重點在于如何求得相對速度,另外,注意單位的換算,1米/秒合3.6千米/時。


例11:一列快車和一列慢車相向而行,快車的車長是280米,慢車的車長是385米,坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒,那么坐在慢車上的人看見慢車駛過的時間是多少秒?


分析:慢車上的人看快車和快車上的看慢車,他們看到的相對速度是相同的,這就是本題的關鍵。


解答:兩車相對速度為:385÷11=35(米/秒),慢車上的人看快車駛過的時間為:280÷35=8(秒),即坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是8秒
評注:在錯車的問題中,對雙方來說相對速度是相同的,不同的是錯車的距離和時間,對車上的人,距離一般是對方車長。


例12:某列車通過250米長的隧道用25秒,通過210米長的隧道用23秒,問該列車與另一列車長320米,時速64.8千米的列車錯車而過需要幾秒?


分析:列車通過隧道行進的距離是隧道長加車長,兩車完全錯車行進的距離之和是兩車之和。


解答:列車通過第一個隧道比通過第二個隧道多走了40米,多用2秒,同此列車速度為:


(250-210)÷(25-23)=20(米/秒),車長為20×25-250=250(米),另一輛車時速64.8千米,合18米/秒,兩車錯車需時為:(250+320)÷(20+18)=15(秒),即兩車錯車需要15秒


評注:在火車錯車、過橋、過隧道、進站等問題中常常會用到車身長作為行進距離的一部分,因此遇到此類問題一定要特別小心。



練習題


1:A、B兩城相距240千米,一輛汽車計劃用6小時從A城開到B城,汽車行駛了一半路程,因故障在中途停留了30分鐘,如果按原計劃到達B城,汽車在后半段路程時速度應加快多少?


2:兩碼頭相距231千米,輪船順水行駛這段路程需要11小時,逆水每小時少行10千米,問行駛這段路程逆水比順水需要多用幾小時?


3:汽車以每小時72千米的速度從甲地到乙地,到達后立即以每小時48千米的速度返回到甲地,求該車的平均速度。


4:一輛汽車從甲地出發到300千米外的乙地去,在一開始的120千米內平均速度為每小時40千米,要想使這輛車從甲地到乙地的平均速度為每小時50千米,剩下的路程應以什么速度行駛?


5:騎自行車從甲地到乙地,以每小時10千米的速度行駛,下午1時到;以每小時15千米的速度行駛,下午1時到;以每小時15千米的速度行進,上午11時到;如果希望中午12時到,應以怎樣的速度行進?


6:一架飛機所帶的燃料最多可以用6小時,飛機去時順風,時速1500千米,回來時逆風,時速為1200千米,這架飛機最多飛出多遠就需往回飛?


7:有一座橋,過橋需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡,平路及下坡的路程相等,某人騎車過橋時,上坡平路,下坡的速度分別為每秒4米、6米、8米,求他過橋的平均速度。


8:某人要到60千米外的農場去,開始他以每小時5千米的速度步行,后來一輛18千米/時的拖拉機把他送到農場,總共用了5.5小時,問:他步行了多遠?

答案:


8千米/時。  10小時。57.6(千米/時)  60千米/時  12千米/時    4000(千米)  5又7/13秒。15千米。



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